Time Series:
Start = -1
End = 6
Frequency = 1
x lag(x, -1) lag(x, 2)
-1 NA NA 2
0 NA NA 1
1 2 NA 14
2 1 2 6
3 14 1 10
4 6 14 NA
5 10 6 NA
6 NA 10 NA时间序列分析与预测
第四讲：参数的估计
R 命令 acf()
样本 ACF 与 CCF
x_t = w_t，y_t = x_{t-5} + u_t
\begin{align*} \Rightarrow \quad \gamma_{yx}(h) &= \mathrm{cov}(y_{t+h}, x_t) = \mathrm{cov}(x_{t+h-5} + u_{t+h}, x_t) \\ &= \mathrm{cov}(x_{t+h-5}, x_t)= \gamma_x(h-5) \\ \Rightarrow \quad \rho_{yx}(h) &= \frac{\gamma_x(h-5)}{\sqrt{\gamma_x(0)\gamma_y(0)}} \end{align*} 因为 \{x_t\} 是白噪声序列，\gamma_x(h-5) 仅在 h=5 时取正值。由此可以推断，样本 CCF \widehat{\rho}_{yx}(h) 在 h=5 时为正，其他时候接近零。
set.seed(21369); x <- rnorm(100); y <- lag(x, -5) + rnorm(100)
par(mfrow=c(1,2)); acf(x); ccf(y, x, ylab="CCF")
左图中的虚线是白噪声过程的样本 ACF 的 95% 置信区间。右图中的虚线是假设两个过程相互独立，且至少一个是白噪声过程时，样本 CCF 的 95% 置信区间。
astsa 包中提供了 acf1() 和 ccf2() 替代 stats 包中的 acf() 和 ccf() 命令。
因为 \rho(0) \equiv 1，acf1() 从 lag 1 开始绘图，并同时显示计算结果。
SOI 和新鱼数量的相关性分析
SOI 和新鱼数量的相关性分析
ACF 显示滞后 12 期（一年）与当期具有正相关，滞后 6 期则具有负相关。这与气候的年度周期性变化相符。CCF 在 h=-6 时显示峰值，说明 t-6 期的 SOI 和 t 期的新鱼数量呈负相关。
估计商品价格的线性趋势
利用 astsa 包中的数据集 salmon，考虑简单的回归模型
x_t = \beta_0 + \beta_1 t + w_t
估计商品的线性趋势
带有滞后变量的回归
我们从样本 CCF 中发现 6 个月前的南方涛动指数 SOI 和现在的新鱼数量指数相关。为了验证这个命题，可以考虑下面的回归模型
R_t = \beta_0 + \beta_1 S_{t-6} + w_t ,
其中 R_t 是 t 月的新鱼数量指数，S_{t-6} 是 t-6 月的 SOI。
模型的拟合结果是 \widehat{R}_t = \underset{(1.09)}{65.79} - \underset{(2.78)}{44.28}\, S_{t-6}。我们假设 w_t 是白噪声，但是下面的回归残差图并不支持这一假设。这说明模型是错误的。
用 dynlm 包进行带有滞后变量的回归
R 中的 lm() 命令对处理时间序列数据的滞后项并不拿手，详情可参考书中第三章中的例 3.6。用 dynlm 包中的 dynlm() 命令可以更简单的完成带有滞后变量的回归。
Time series regression with "ts" data:
Start = 1950(7), End = 1987(9)
Call:
dynlm(formula = rec ~ L(soi, 6))
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-65.187 -18.234 0.354 16.580 55.790
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 65.790 1.088 60.47 <2e-16 ***
L(soi, 6) -44.283 2.781 -15.92 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 22.5 on 445 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.3629, Adjusted R-squared: 0.3615
F-statistic: 253.5 on 1 and 445 DF, p-value: < 2.2e-16