第三讲：时间序列的特征

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补充学习

1. 阅读书中第二章关于 Wold 分解的部分。
2. 阅读书中的例 2.24 关于联合平稳性的例子。

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课后练习

章后练习 2.8（自己完成后再看参考答案）

问题

考虑两个时间序列

\begin{align*} x_t &= w_t ,\\ y_t &= w_t - \theta w_{t-1} + u_t , \end{align*} 其中 w_t 和 u_t 是独立的白噪声序列，且满足 \mathrm{var}(w_t) = \sigma_w^2，\mathrm{var}(u_t) = \sigma_u^2。\theta 是未知系数。

1. 将 \{y_t\} 的自相关函数（ACF）\rho_y(h) 写成 \sigma_w^2、\sigma_u^2 和 \theta 的函数。
2. 写出 \{x_t\} 和 \{y_t\} 的交叉相关函数（CCF）\rho_{xy}(h)。
3. 证明 \{x_t\} 和 \{y_t\} 是联合平稳的。

参考答案

a.

\begin{align*} \gamma_y(t,t) &= \mathrm{var}(y_t) \\ &= \mathrm{var}(w_t) + \theta^2 \mathrm{var}(w_{t-1}) + \mathrm{var}(u_t) \\ &= (1+\theta^2) \sigma_w^2 + \sigma_u^2 \\ \gamma_y(t-1,t) &= \mathrm{cov}(y_{t-1}, y_t) \\ &= -\theta \, \mathrm{var}(w_{t-1}) = - \theta \sigma_w^2 \\ \gamma_y(t+1,t) &= \mathrm{cov}(y_{t+1}, y_t) \\ &= -\theta \, \mathrm{var}(w_{t}) = - \theta \sigma_w^2 \\ \gamma_y(s,t) &= 0 \text{ for all other } s \text{ and } t \end{align*} 因此，\{y_t\} 的自相关函数可以写成

\rho_y(h) = \begin{cases} 1 & \text{if } h = 0 \\ \frac{- \theta \sigma_w^2}{(1+\theta^2) \sigma_w^2 + \sigma_u^2} & \text{if } |h| = 1 \\ 0 & \text{if } |h| > 1 \\ \end{cases}

b.

\gamma_{xy}(h) = \begin{cases} \sigma_w^2 & \text{if } h = 0 \\ 0 & \text{if } h > 0 \\ -\theta \sigma_w^2 & \text{if } h = -1 \\ 0 & \text{if } h < -1 \end{cases}

因此，\{x_t\} 和 \{y_t\} 的交叉相关函数为

\rho_{xy}(h) = \begin{cases} \frac{\sigma_w}{\sqrt{(1+\theta^2) \sigma_w^2 + \sigma_u^2}} & \text{if } h = 0 \\ 0 & \text{if } h > 0 \\ - \frac{\theta \sigma_w}{(1+\theta^2) \sigma_w^2 + \sigma_u^2} & \text{if } h = -1 \\ 0 & \text{if } h < -1 \end{cases}

c.

\{x_t\} 是白噪声序列，因此是平稳的。由 \mu_{yt} = 0 和 (a) 的结果可知 \{y_t\} 也是平稳的。

由 (b) 可知两者的交叉协方差函数仅是滞后期 h 的函数，因此它们是联合平稳的。