第五讲：探索性数据分析

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补充学习

  1. bilibili: StatQuest: Fiitting a curve to data, aka lowess, aka loess


    这个视频中比较详细地介绍了 LOWESS 拟合的工作原理，也对 lowess() 和 loess() 函数进行了对比。
    视频网址：https://www.bilibili.com/video/BV1hE41197Gn/

  2. 阅读教材第3.3节，学习如何在 R 中实现各种平滑方法。

课后练习

章后练习 3.5（自己完成后再看参考答案）

假设时间序列 x_t 是趋势平稳的，其趋势服从带漂移项的随机游走模型，即

x_t = \mu_t + y_t, \quad \mu_t = \delta + \mu_{t-1} + w_t

其中 y_t 是平稳序列，w_t 是白噪声且与 y_t 独立。

证明 \nabla x_t 是平稳的。

由 \nabla x_t = \delta + w_t + \nabla y_t 可得 E(\nabla x_t) = \delta，以及

\begin{align*} \mathrm{cov}(\nabla x_{t+h}, \nabla x_{t}) &= \mathrm{cov}(\delta + w_{t+h} + \nabla y_{t+h}, \delta + w_t + \nabla y_{t}) \\ &= \mathrm{cov}(w_{t+h}, w_t) + \mathrm{cov}(w_{t+h}, \nabla y_t) \\ & \quad + \mathrm{cov}(\nabla y_{t+h}, w_t) + \mathrm{cov}(\nabla y_{t+h}, \nabla y_t) \end{align*}

因为 w_t 与 y_t 独立，\mathrm{cov}(w_{t+h}, \nabla y_t) = \mathrm{cov}(\nabla y_{t+h}, w_t) = 0。而 \mathrm{cov}(\nabla y_{t+h}, \nabla y_t) 可以写成

\begin{align*} \mathrm{cov}(\nabla y_{t+h}, \nabla y_t) &= \mathrm{cov}(y_{t+h} - y_{t+h-1}, y_t - y_{t-1}) \\ &= 2\gamma_y(h) - \gamma_y(h+1) - \gamma_y(h-1) \end{align*}

仅依赖于 h。已知白噪声序列是平稳序列，可得 \mathrm{cov}(\nabla x_{t+h}, \nabla x_{t}) 也仅依赖于 h。

综上可得差分序列 \nabla x_t 是平稳的。